Kan man beregne alt med formler
Cosinus, Sinus og Tangens i retvinklede trekanter
I de foregående afsnit har vi defineret cosinus, sinus og tangens. I dette kapitel skal vi se, hvordan man kan anvende disse værktøjer til at finde sider og vinkler i retvinklede trekanter.
Hvis v er en vinkel i en retvinklet trekant, gælder følgende:
$$\cos(v)=\frac{\text{hosliggende side}}{\text{hypotenusen}}$$
$$\sin(v)=\frac{\text{modstående side}}{\text{hypotenusen}}$$
$$\tan(v)=\frac{\text{modstående side}}{\text{hosliggende side}}$$
Dette skyldes, at en retvinklet trekant ΔABC (den blå trekant nedenfor) kan integreres i et koordinatsystem sammen med en enhedscirkel, hvor vinkel A er i origo. (Dette opnås ved at konstruere et koordinatsystem).
Den røde trekant i tegningen har siderne cos(A), sin(A) og 1. (Linjestykket fra A til PA er en radius i enhedscirklen og har derfor længden 1).
Bemærk at de to trekanter (den blå og den røde) er ensvinklede, idet begge indeholder vinkel A og en ret vinkel. (Derved bestemmes den tredje vinkel også som ens).
Dette viser, at:
cos(A) er proportional med b,
sin(A) er proportional med a,
og 1 er proportional med c.
Ved at anvende egenskaberne ved ensvinklede trekanter, kan vi udtrykke:
$$\frac{\cos(A)}{1}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow\cos(A)=\frac{b}{c}$$
$$\frac{\sin(A)}{1}=\frac{a}{c}\Leftrightarrow\sin(A)=\frac{a}{c}$$
Vi kan yderligere finde tangens til A:
$$\tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}$$
Disse formler stemmer overens med de formler, vi introducerede i starten, hvor a er den modstående side, b er den hosliggende side og c er hypotenusen.
Lad os se på nogle eksempler.
Vi ønsker at bestemme vinklen v i følgende trekant.
Vi kender den modstående side og hypotenusen til vinklen v.
Derfor skal vi anvende sinus.
$$\sin(v)=\frac{\text{modstående side}}{\text{hypotenuse}}$$
$$\sin(v)=\frac{3}{5}=0,6$$
Ved at tage arcsinus på begge sider, kan vi finde vinklen.
$$v=\sin^{-1}(0,6)$$
$$v=36,87^\circ$$
Et andet eksempel:
Vi ønsker at beregne hypotenusen i følgende trekant.
Vi kender den hosliggende side til vinklen, og ønsker at finde hypotenusen.
Derfor anvender vi cosinus:
$$\cos(v)=\frac{\text{hosliggende side}}{\text{hypotenuse}}$$
$$\cos(25^\circ)=\frac{5}{x}$$
$$x\cdot\cos(25^\circ)=5$$
$$x=\frac{5}{\cos(25^\circ)}$$
$$x\approx5,52$$