Hvad kan skalarproduktet anvendes til?
Definition og anvendelse af skalarproduktet
Det er, som tidligere påpeget, ikke muligt direkte at multiplicere to vektorer. Derimod kan skalarproduktet, også kendt som prikproduktet, udregnes mellem to vektorer. Metoden til at bestemme skalarproduktet indebærer multiplikation af de respektive førstekoordinater, hvorefter dette resultat adderes til produktet af andenkoordinaterne.
$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$$
Det er væsentligt at bemærke, at udfaldet af skalarproduktet mellem to vektorer altid er en skalær værdi (et enkelt tal).
Som illustration kan følgende eksempel anføres:
$$\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\\end{pmatrix}=3\cdot 2+1\cdot 4=10$$
Skalarproduktet symboliseres med et punktum (hvilket er analogt med den sædvanlige notation for multiplikation), og af denne årsag benævnes det lejlighedsvis også prikproduktet. Dette giver anledning til udtrykket 'at prikke to vektorer med hinanden'.
Principper for beregning af skalarproduktet
På tilsvarende vis, som der eksisterer beregningsregler for addition og subtraktion af vektorer, er der ligeledes et sæt regler gældende for skalarproduktet.
$$1.\quad\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$$
$$2.\quad\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$
$$3.\quad t(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=(t\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(t\overrightarrow{b})$$
$$4.\quad\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$$
Den første forskrift (regel) fastslår, at det er uden betydning, hvilken sekvens man anvender, når to vektorer prikkes med hinanden.
Den anden regel indikerer, at såfremt man ønsker at beregne prikproduktet af en vektor med en sum af vektorer, er dette ækvivalent med at prikke (multiplicere) den oprindelige vektor med hver enkelt vektor i summen separat. Anderledes formuleret kan prikproduktet distribueres ind i parenteser.
Den tredje regel angiver, at når en skalar (et tal) skal multipliceres med et skalarprodukt, kan dette opnås ved enten at gange skalaren med den ene vektor for derefter at beregne skalarproduktet, eller ved at gange skalaren med den anden vektor og efterfølgende udføre prikproduktet.
Den fjerde regel demonstrerer sig som værende yderst anvendelig. Den fastlægger, at når en vektor prikkes med sig selv, opnås kvadratet på vektorens længde som resultat.
Alle disse principper kan uden besvær demonstreres ved at udføre beregninger på venstre- og højresiden af de respektive ligninger individuelt med koordinater og verificere, at de giver identiske resultater. Specifikt kan beviset for regel fire illustreres på følgende vis:
$$V:\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=a_1\cdot a_1+a_2\cdot a_2=a_1^2+a_2^2\\H:|\overrightarrow{a}|^2=(\sqrt{a_1^2+a_2^2})^2=a_1^2+a_2^2$$